李某系K市一養(yǎng)豬場(chǎng)老板，因其養(yǎng)殖場(chǎng)未依法辦理建設(shè)項(xiàng)目環(huán)境影響登記表的備案，便動(dòng)工建設(shè)、開(kāi)始養(yǎng)豬，被K市環(huán)境保護(hù)局處以4萬(wàn)元罰款。李某不服，準(zhǔn)備提起行政復(fù)議；并請(qǐng)托朋友找到K市政府工作人員張某，私下給張某2萬(wàn)元，希望其可以在幫忙走動(dòng)，在行政復(fù)議中撤銷(xiāo)對(duì)其處罰。張某收下了李某的錢(qián)，但復(fù)議維持了對(duì)其的處罰。李某心生不滿(mǎn)，6月2日將張某約至其車(chē)上理論。當(dāng)晚張某失蹤，家人報(bào)案，6月4日張某尸體被發(fā)現(xiàn)在離張某家不遠(yuǎn)處的河邊。偵查機(jī)關(guān)排查線(xiàn)索中，得知李某與張某近期發(fā)生矛盾，6月5日對(duì)李某立案?jìng)刹椤?br/>后K市檢察院以李某故意殺人罪提起公訴，并提供如下證據(jù)：
1.李某的供述：“2號(hào)我把張某約到車(chē)上，我在駕駛位，他坐在副駕駛，我問(wèn)他要給他的2萬(wàn)元，他不給，說(shuō)雖然沒(méi)有辦成，但是他到處幫我問(wèn)人，這個(gè)錢(qián)算他的辛苦費(fèi)。不僅如此，他還問(wèn)我接著要錢(qián)，說(shuō)不然的話(huà)，就繼續(xù)讓環(huán)保局的去想辦法查我。我越聽(tīng)越生氣，表面上答應(yīng)他，說(shuō)要去后備箱取下錢(qián)，實(shí)際上我到后備箱拿了養(yǎng)豬場(chǎng)的套豬器，然后從后排座位把他勒死在了副駕駛上。然后我開(kāi)車(chē)到了河邊，把他尸體扔進(jìn)去。
2.洗車(chē)店員工丁一的證言：6月3號(hào)一大早李某就來(lái)洗車(chē)了，并且車(chē)外部很干凈，只是讓我們使勁沖洗副駕駛。我們覺(jué)得很奇怪，懷疑是不是昨天半夜在車(chē)?yán)镉袃礆?，在清洗現(xiàn)場(chǎng)。
3.飯店服務(wù)員大可的證言：6月2日中午，李某和張某來(lái)飯店吃飯，兩個(gè)人喝了兩斤多白酒，明顯喝高了，走路搖搖晃晃。
4.偵查人員在李某養(yǎng)豬場(chǎng)搜查所得的一把套豬器，但由于疏忽未附提取筆錄。
5.法醫(yī)死亡鑒定：張某系機(jī)械性窒息導(dǎo)致的死亡，因尸體浸泡較久，無(wú)法判斷具體致死方式，不排除溺亡或被人縊頸的可能。
在庭審中，李某翻供并提出其口供是遭受非法取證所得，事實(shí)上在其與張某在車(chē)上理論后，張某答應(yīng)歸還李某私下送給的2萬(wàn)元，于是二人重歸于好，李某還請(qǐng)張某至飯店共同吃飯、飲酒，張某還戲稱(chēng)“買(mǎi)賣(mài)不成仁義在”。飯后李某提出送張某回家，張某提出自己離家不遠(yuǎn)，想走回去，到河邊散散步醒醒酒。于是二人在飯店分開(kāi)，各自回家。李某自己開(kāi)車(chē)回家，途中因飲酒過(guò)量而嘔吐在副駕駛上，所以才前往洗車(chē)。
李某向法院陳述了偵查人員趙某于6月6日對(duì)其訊問(wèn)時(shí)的非法取證過(guò)程，趙某表示，如若李某不承認(rèn)犯罪，便將其第二天要參加高考的兒子一并抓起來(lái)。李某辯護(hù)人申請(qǐng)排除非法證據(jù)。人民檢察院播放了訊問(wèn)李某時(shí)的全程錄像，但錄像只有畫(huà)面沒(méi)有聲音。人民法院認(rèn)為取證手段合法性存疑，確有必要通知該案?jìng)刹槿藛T出庭，但偵查人員以有公務(wù)在身為由，并未到庭，提供了其本人簽名、公安局蓋章的情況說(shuō)明。
請(qǐng)根據(jù)現(xiàn)有證據(jù)及相關(guān)法律規(guī)定，分析法院應(yīng)當(dāng)如何做出判決？