考慮線性定常系統(tǒng)和性能指標(biāo)如下：

其中實(shí)數(shù)r>0為性能指標(biāo)可調(diào)參數(shù)。試回答
（1）當(dāng)參數(shù)r固定時(shí)，求使得性能指標(biāo)J最小化的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器。
（2）當(dāng)參數(shù)r增大時(shí)，分析閉環(huán)系統(tǒng)性能的變化。

雙足直立機(jī)器人可以近似為一個(gè)倒立擺裝置，如圖所示。假設(shè)倒立擺系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)線性化狀態(tài)空間模型如下：

其中，狀態(tài)變量，y是小車的位移，θ是擺桿的偏移角，u是作用在小車上的動(dòng)力。試回答

（1）雙足直立機(jī)器人在行走過程中被人推了一把而偏離垂直面，那么根據(jù)倒立擺原理，請問雙足直立機(jī)器人在該擾動(dòng)推力消失后還能回到垂直面位置嗎？
（2）如果不能，那么請你從控制學(xué)的角度，給出兩種能夠使雙足直立機(jī)器人在擾動(dòng)推力消失后回到垂直面位置的方法。
（3）請結(jié)合倒立擺模型，簡單敘述雙足直立機(jī)器人能控性的含義。
（4）在狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)中，需要用到系統(tǒng)的所有狀態(tài)信息，但根據(jù)倒立擺原理，可測量的狀態(tài)信息只有水平移動(dòng)的位移y，那么你有什么方法可以實(shí)現(xiàn)這個(gè)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)？你所用方法的條件是什么？依據(jù)是什么？請結(jié)合倒立擺模型，給出你使用方法的實(shí)現(xiàn)過程。

實(shí)際被控系統(tǒng)通常是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，但計(jì)算機(jī)控制卻是一種基于離散模型的控制，因此一種方法是對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)做離散化。那么請問
（1）一個(gè)能控能觀的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，其離散化后的狀態(tài)空間模型是否仍然保持能控能觀性？
（2）以如下線性定常系統(tǒng)為例：說明你的理由以支持你的觀點(diǎn)。

（3）令采樣周期T=π/2，初始狀態(tài)為，求u（k），使得（2）中離散化狀態(tài)空間模型在第2個(gè)采樣時(shí)刻轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。

系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣不僅包含了對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息，而且在線性控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)中具有重要的作用。已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下：

（1）試給出對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息；
（2）試列舉狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)，并簡述其意義。