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問答題證明：（a）如果A是對(duì)稱正定陣，則A^-1也是正定陣；（b）如果A是對(duì)稱正定陣，則A可唯一寫成A=L^TL，其中L是具有正對(duì)角元的下三角陣。

如下：

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1.問答題 設(shè)Ux=d，其中U為三角矩陣。
（a）就U為上及下三角矩陣推導(dǎo)一般的求解公式，病寫出算法。
（b）計(jì)算解三角形方程組Ux=d的乘除法次數(shù)。
（c）設(shè)U為非奇異陣，試推導(dǎo)求U^-1的計(jì)算公式。

參考答案：

如下：

2.問答題試推導(dǎo)矩陣A的Crout分解A=LU的計(jì)算公式，其中L為下三角陣，U為單位上三角陣。

參考答案：

對(duì)A施行初等列變換，

進(jìn)行n次初等列變換后，令A(yù)^（n）=L，m_kj=U_kj即為所求。

3.問答題 設(shè)L_k為指標(biāo)為k的初等下三角陣，即

（除第k列對(duì)角元下元素外，和單位陣I相同）
求證當(dāng)i，j>k時(shí)，L_k=I_ijL_kI_ij也是一個(gè)指標(biāo)為k的初等下三角陣，其中I_ij為初等排列陣。

參考答案：

其中m_i，k與m_j，k位置互換。

4.問答題 設(shè)A是對(duì)稱正定矩陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為

其中A=（a_ij）_n，A₂=（a_ij^（2））_n-1
證明：
（1）A的對(duì)角元素a_ij>0（i=1，a_ij）；
（2）A₂是對(duì)稱正定矩陣；
（3）A_n^（n）≤a_ij，（i=1，2，...，n）；
（4）A的絕對(duì)值最大的元素必在對(duì)角線上；
（5）
（6）從（2），（3），（5）推出，如果|a_ij|<1，則對(duì)所有k，|a_ij^（k）|<1。< i=1，2，...，n）；

參考答案：

如下：

5.問答題 設(shè)A為n階矩陣，如果稱A為對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣。證明：若A是對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A具有形式

參考答案：

則A₂是對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，故高斯消去法與部分選主元高斯消去法對(duì)于對(duì)稱的對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣每一步均選取同樣的主元，得出的是同樣的結(jié)果。